Задним числом никакую доверенность все равно уже не нарисовать, мы же исходим из реальной ситуации.
Председатель однозначно владел полной информацией о решении, принятой общим собранием, ну а поскольку председателем был избран именно он, значит на тот момент именно этот человек обладал наибольшим доверием членов общества.
Если и он не подписал трудовой договор, но при этом директор все же вступил в должность и начал исполнять свои обязанности (против чего никто не возражал), значит руководствуемся уже ст. ТК РФ:
Цитата: Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работеработодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
Ну а поскольку директор является единоличным исполнительным органом, имеющим право действовать от имени организации-работодателя без доверенности, он вполне может исполнить эту обязанность и в отношении оформления трудового договора с самим собой.